标准正交矩阵
假设矩阵$Q$有列向量$q1, q2,\cdots, q_n$表示，且其列向量满足下式：
则
若$Q$为方阵，由上面的式子则有
我们举例说明上述概念：
标准正交矩阵的好处
上面我们介绍了标准正交矩阵，那么标准正交矩阵的用处在哪？下面以两方面来说明标准正交矩阵的用处：
求解$Ax=b$
在前面文章《正交投影》中，有下式：
当矩阵$A$为标准正交矩阵$Q$时，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为：
可以发现，求$x$时不需要矩阵$Q$的逆，只需要知道转置即可，这样简化了计算。
求解投影矩阵
在前面文章《正交投影》中，投影矩阵的通式可以表示为：
当矩阵$A$为标准正交矩阵$Q$时，由于正交矩阵与其转置的乘积为单位矩阵，则上式可以转化为：
这样就将投影矩阵简单化了。
Gram-Schmidt正交化
任何复杂问题的求解都可以从简单的问题出发。聪明的数学家不会羞于考虑小问题，因为当最简单的情况弄得明明白白时，一般的形式就容易理解了。并且，简单的情况不仅帮我们发现一般的公式，而且还提供了一种便利的核查方法，看看我们是否犯下了愚蠢的错误。下面我们就从简单的二维情况讨论：
二维情况
假设原来的矩阵为$[a,b]$，$a,b$为线性无关的二维向量，下面我们通过Gram-Schmidt正交化使得矩阵$A$为标准正交矩阵：
假设正交化后的矩阵为$Q=[A,B]$,我们可以令$A=a$，那么我们的目的根据$AB=I$来求$B$。如下面的二维情况所示，$B$的方向与$A$成$90$度。图中还表明，$B$可以表示为$b$向量与$b$向量在$a$上的投影的误差向量。由《正交投影》中的结论可知，有如下关系成立：
三维情况
假设原来的矩阵为$[a, b, c]$，$a, b, c$为线性无关的二维向量，正交化后的矩阵为$Q=[A, B, C]$,我们可以令$A=a$，则可以根据二维情况得到如下猜想：
上式显然满足$AB=0, AC=0, BC=0$。
下面我们用实例说明正交化的过程：
假设矩阵为$[a, b]$:
则由二维情况的结论可知：
把具体数值代入得：
经过归一化得：
$Q$即是我们经过正交化后的正交矩阵。
